对地图制作者来说,一个画在平面或球面上的地图,只要用四种不同的颜色便能把不同的国家区分开,这是一条未经证明的永恒法则．1976年,著名的四色地图问题由美国伊利诺斯大学的K·阿佩尔和W·哈肯用计算机给予了证明,但他们的计算机证明依然面临着挑战。

为了增添一些花样,我们考虑在不同的拓扑模型上的地图着色．拓扑学研究了许多非同寻常的形状的表面——油煎圈饼、油条式脆饼、莫比乌斯状的表面等等．一个球面能够通过戳一个洞,然后将它张开、摊平而成为一个平面．因而从本质上讲,一个球面的着色跟一个平面的着色,所需求的颜色数是一样的．拓扑学研究的是物体在如同橡皮膜那样伸张和皱缩的变形下保持不变的性质．究竟有哪些性质在这些变形下保持不变呢? 由于扭曲是允许的,所似我们推知拓扑学不考虑对象的大小、长短、形状和刚性．拓扑学所要找的是位置的特征,诸如点在一曲线的内部或外部,一个表面是单面还是双面,一个对象是否是一条简单的闭曲线,或它所具有的内部或外部的区域数等等．对于前面所提的那些拓扑学对象,地图着色是一个完全新的问题,因而四色问题的解对它们也不适用。

试对一张纸条上的各种不同的地图着色．然后把它扭转半圈并将端头粘接在一起,做成一条莫比乌斯带．此时四色总是够吗? 未必! 那么对于任意的这种地图最少需要多少颜色呢? 试在一个环面上(具有油煎卷圈饼的形状)对地图着色．最容易的方法是用纸张做一个想象的油煎圈饼,然后在上面做试验．可先在纸的一面上对地图着色,然后卷成圆筒状,再把圆筒弄弯并像油煎圈饼那样把两头接在一起．你能确定在这样一个环面上的地图着色问题,最少需要多少种颜色吗?