变化多端是富兰克林幻方的特色,除具有一般幻方的通常性质①外,它还另有许多奇异的特性．例如,它的每一行总和为260,而每半行的和为130；向上的阴影线上的四个数与对称的向下的阴影线上的四个数(可接长)的总和为260；任何四个与中心等距离且位于各象限对等位置的四个数的和为130；各象限内四个角与四个中心数的总和为260；任何构成小的2×2 方块的四个数的和为130；等等。

芝诺悸论——阿墓里斯与乌龟

悖论是有趣的,而且是数学的一个非常重要的部分．它突出地表明,在陈述或证明某种想法时小心地使它不出现漏洞是多么地重要．在数学中,我们常常试图使数学思想覆盖尽可能多的方面,例如我们试图概括一个概念以使它能够用于更多的对象．概括无疑是重要的,但它也可能导致危险．我们务必谨慎从事．一些悖论就说明了这种危险的存在。

公元前5 世纪,芝诺用他的无穷、连续以及部分和的知识,引发出以下著名的悖论: 他提出让阿基里斯①和乌龟之间举行一场赛跑,并让乌龟在阿基里斯前头1000 米开始．假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10 倍．当比赛开始的时候,阿基里斯跑了1000 米,此时乌龟仍然前于他100 米．当阿基里斯跑了下一个100 米时,乌龟依然前于他10 米。

芝诺辩解说,阿基里斯能够继续逼近乌龟,但他决不可能追上它．那么芝诺的理由正确吗? 如果阿基里斯追上了乌龟,那么他是在赛程的哪一点追上呢?

欧布利德悖论与芝诺悖论

希腊哲学家欧布利德断言,一个人绝不可能有一堆沙．他的见解是: 一粒沙不能构成一堆沙,如果在一粒沙上加上一粒沙它们也不能构成一堆．如果你没有一堆沙,那么即使给你加上一粒沙,也同样没有一堆,从而你永远不会有一堆沙。

依着同样的思路,芝诺把眼光瞄在线段上．他断言,如果点是没有大小的,那么加上另一个点依然不会有大小．这样人们就绝不可能得到一个有大小的物体,因为这些物体是由点结合而成的．接着他进一步推断说,如果一个点有大小,那么一条线段就必然有无限的长度,因为它是由无穷数量的点所构成,

① 译者注: 阿基里斯(Achilles)是荷马史诗中的希腊英雄,神话传说中善跑的神。