欧几里得几何(或称抛物几何)是我们大家所熟悉的,然而几何世界是广阔的,并非欧氏几何一枝独秀,还有着各式各样的非欧几里得几何,简称非欧几何．但通常意义下,非欧几何是指罗巴切夫斯基几何(或称双曲几何)和黎曼几何(或称椭圆几何)两种。

罗氏几何与欧氏几何有着明显的区别．在罗氏几何中,承认:

过直线外一点有无穷多条直线和已知直线共面但不相交．共面而不相交的两条直线被第三条直线所截,同位角(或内错角)不一定相等；

同一直线的共面的垂线和斜线不一定相交；

三角形内角和小于180°:

对应角相等的两个三角形全等(就是说,罗氏平面上不存在相似而不全等的三角形)；

三个内角是直角的四边形,其第四个内角却小于直角(就是说罗氏平面上没有矩形)；

通过不共线三点不一定能作出一个圆；

三角形三条高线不一定相交于一点；等等。

那么对于只熟悉欧氏几何的人来说,这些都是不可思议的。

罗氏几何是以其创建者俄罗斯数学家罗巴切夫斯基(1792－1856)的名字命名的,罗巴切夫斯基在证明欧几里得的平行公理时,力图由否定“同一直线的共面的垂线和斜线必相交”而引出矛盾．然而推论一个接一个,便形成了一个严密完善的系统而逻辑上并存在的任何矛盾．于是他相信建立起来的几何体系代表着一种新的几何学,称它为“虚几何”．1826年2月23 日罗巴切夫斯基在喀山大学数学物理系宣讲了他的关于这种新几何的论文即《关于几何原理的概述》,随后他又陆续出版了许多著作来阐述自己的观点,直到逝世的前一年,眼睛几乎失明了,他还坚持通过口授写下了俄文和法文的《泛几何学》．由于罗氏几何的结论与我们的直觉并不一致,因而遭到同时代的绝大多数的数学家的非议,甚至讽刺、嘲笑．就连当时俄国最大的两位数学家也说这是荒唐至极．罗巴切夫斯基却毫不顾忌这一切,始终坚持他的发现,他不遗余力地丰富它,发展它和捍卫它!

然而最早发现罗氏几何的并非是罗巴切夫斯基,而是德国的高斯,他也是从证明欧氏平行公理中得来,最初他称这种几何为反欧几里得几何,后来又改称星空几何,最后称之为非欧几何．但由于害怕引起别人的反对和攻击,他没有发表过关于这种几何的任何见解。

发现罗氏几何的另外还有F·鲍耶的儿子,匈牙利军官亚·鲍耶,他根本不听从父亲的劝阻,在试证欧氏平行公理时,发现了这种几何．1823年11月23 日给父亲的信中说: “我已经得到如此奇异的发现,连我自己也为之惊讶不止……,我已经从乌有创造了整个世界．”1832年他的关于新几何的著作以附录的形式发表在他父亲的一本书的后边,根据“附录”的拉丁文字,亚·鲍耶的工作在数学文献上获得“亚编的克斯”的称号。

高斯,鲍耶,罗巴切夫斯基他们各自独立的工作,因此说罗氏几何的问世当归功于他们三人,只是罗巴切夫斯基发表在先,所以命名罗巴切夫斯基几何,遗憾的是,他们三人在生前都没能亲眼看到罗氏几何被社会所公认．罗氏几何直到1871年即罗巴切夫斯基死后15年才获得公认。

罗氏几何与欧氏几何之所以有如此大的差别,其根源在于罗氏平行公理是欧氏平行公理的反面命题,当我们把欧氏平行公理及等价命题,如过直一外一点恰有一条直线和已知直线共面不相交；

共面不相交的二直线被第三直线所截,同位角(或内错角)相等；

一直线的共面的垂线和斜线必相交；

过不共线三点恒有一圆；

三角形三高线交于一点；

任何三角形内角和等于180°；

等等。

的反面命题写出来,是否可找到前面出现的那些离奇的罗氏几何定理的踪影了。

其实,罗氏几何中也不尽是离奇的结论,由于罗氏几何的公理中除平行公理外都和欧氏公理相同,因此凡是涉及平行公理的定理都是共有的,如: 对顶角相等,三角形全等的判定,外角定理以及三角形中边、角的不等关系等．两者的公共部分被称做绝对几何．就是说: 绝对几何的公理加上欧氏平行公理组成了欧氏几何的公理系统,演绎推理构成欧氏几何；绝对几何加上罗氏平行公理构成罗氏几何公理系统,演绎推理就形成了罗氏几何．从公理法的角度看问题,两种几何之间的关联、同异是这样简单的清晰。

孕育了罗氏几何的是由于“平行公理试证”,这是几何学发展史上的一件大事．公元前6 世纪几何学在古希腊得到了很大的发展,成为至高无上的学科,人人争学几何,数学家柏拉图就在他创建的学院门前高悬“不懂几何学的人莫入”大字条幅．公元前3 世纪,欧几里得《几何原本》成功地反映了证明几何,完美地实践了当时的公理化思想．它的问世,人们如获至宝,然而,人们为了证明它的平行公理,以为可以由其他公理推证出来,即认为它不是公理而只是个定理,掀起了证明平行公理的热潮,从而导致了罗氏几何的诞生,罗氏几何被公认即定论了欧氏平行公理是独立的,不能由其他的公理推证出来。

罗氏几何的诞生,不只是为几何学增添了一个新的分支,它是一次数学思想的重大飞跃,使几何学从古典阶段进入了现代化阶段．欧几里得《几何原本》是古典几何的代表,是建立在对现实世界的感知之上的,这反映了现实空间形式．因此,古典几何又叫实证或实体几何。

罗氏几何却离开了感知,改变了几何学对直觉真实性的追求,尝试了思维的创造、人为地构造几何空间．人们开始了在几何领域里充分地施展自己的聪明才智,创造精神,接踵而来的是黎曼几何,仿射几何,射影几何等等,极大地发展了几何学。