数论与几何学一样,是最古老的数学分支．欧几里得的《几何原本》的七、八、九章,讲的就是数论。

对于素数的研究,在数论中占有很重要的位置。

我们知道,正整数是由1、素数(也叫质数)与合数这三类数组成的．一个大于1 的正整数,如果只能被1 和它本身整除,不能被其他正整数整除,这样的正整数就叫做素数；否则就叫做合数．在整数1、2、3、4、……中,去掉1 与全部合数,所得的表:

2,3,5,7,11,13,17,称为素数表．在素数表中,除了第一个素数2,其余都是奇素数．现在世界上最好的素数表是查基尔编的,列有大不大于50000000(五千万)的素数。

关于素数,最古老的问题是: 素数有多少个? 欧几里得在《几何原本》中,最先证明了素数有无穷多个．他的巧妙的证明方法,闪耀着智慧的光辉．2000 多年来,人们虽也提出过一些别的证法,但是直到今天,还是欧几里得的证明方法最好。

欧几里得证明素数有无穷多个的方法,大意是:

假若素数只有有限多个,设最大的一个是P,从2 到P 的全体素数是:

2,3,5,7,11……,P。

所有的素数都在这里,此外再没有别的素数了。

现在,我们来考察上面从2 到P 的全体素数相乘、再加上1 这个数,设它是A,即

A=2×3×5×7×11×……×P+1。

A 是一个大于1 的正整数,它不是素数,就是合数。

如果A 是素数,那么,就得到了一个比素数P 还要大的素数,这与素数P 是最大素数的假设矛盾。

如果A 是合数,那么,它一定能够被某个素数整除,设它能被g 整除。

因为A 被从2 到P 的任何一个素数除,余数都是1,就是都不能整除,而素数g 是能整除A 的,所以素数g 不在从2 到P 的全体素数之中．这说明素数g 是一个比素数P 更大的素数,这又与P 是最大的素数的假设矛盾。

上面的证明否定了素数只有有限多个的假定,这就证明了素数是无穷多个。

这个证明的构思非常巧妙,它的基本思路是: 既然对于无论多大的素数,都一定有比它更大的素数,那当然素数就是无穷多个了。

素数虽然有无穷多个,但是在自然数中,它是排列得相当稀的．人们证明了这样一个道理: 无论给定一个多大的正整数,比方说100 亿万,一定能找到一个正整数,在这个正整数中,一个素数也没有．如果你不是说100 万,而是说100 亿万,这个结论也成立。

这个定理的证明,在构思上与证明素数无穷相象。

素数虽然有无穷多个,但人们能具体写出来的,总是有限个．因此,找一个比现在所知道的最大素数更大的素数,是人们经常探讨的难题之一。