世界上所有的发明和创造,归根结底都是为了应用．数学也是一样,抽象的逻辑关系往往是由具体的事物和矛盾而发生出来的．数字运算中不可缺少的进位制就是一个例子。

上古时候,人们为了数出物体的个数,便产生了自然数的概念．但是,如何读出和说出这些数呢? 由于自然数有无限多个,如果每一个都用一个独立的名称和记号来表示,这显然是不可能的．有人对莎士比亚著作中的单词作过统计,共有1 万7 千个不同的词,即使一个英文程度很好的人,在阅读这些著作时,也非有一本专门辞典不行．文字是如此的复杂,数字要是没有一种简化的方法去表示,也像文字这样复杂,那在表达数量关系时所出现的困难,是很难设想的．实践的需要促使进位制的产生。

早在有文化的初期,多数民族由于实际生活的需要,都或多或少地创造出一定的进位制；但是,用专门数码来表示数的书写方法,却产生得很晚,甚至像古代希腊、罗马这样有高度文化的民族,用数码来表示数的书写方法也是极不完整的．直到纪元初年,人们才初步应用数码,并按一定的进位制来表示数。

国际上通用的是十进制读数与记数方法,即较低位上的十个单位组成较高位上的一个单位．在我国,很早就运用了这种进位制．如周代《易经》中表示数量时曾有“万有一千五百二十”的记载,说明早在2 千多年前,我国就有了十进位制．后来,甄鸾在他的《数术记遗》(成书于公元6 世纪)中还有下面一段话: “黄帝为法,数有十等,乃其用也,乃有之焉．十等者: 亿、兆、京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载．三等者,谓上中下也．其下数者,十十变之,若言十万曰亿,十亿曰兆,十兆曰京也．中数者,万万变之,若言万万曰亿,万万亿曰兆,万万兆曰京也．上数者,数穷则变,若言万万曰亿,亿亿曰兆,铛兆曰京也．”从这段话我们可以看出,当时虽采用了十进制,但缺乏统一的规定,主要原因是那时的生产力不发达,人们在实际生活中还不迫切需要用很大的数记载。

据调查,美国原始亚美利加各族的307 种计数系统中,有146 种是十进位的,106 种是五进位和二十进位的．可见,十进位制在历史上为人们所普遍采用．人类为什么喜欢十进位呢? 根据语言学家对世界各进化民族和多数原始民族语言的研究,这是由于人类的手有十个手指,可以自由伸展．是一个很好的天然计数工具,因而不谋而合地都采用了十进位制．在英文中,“dight”这个单词既可以当“手指”讲,又可以理解为“数字”,这与人们长期用手指表示数字,是有必然联系的．另外,十进位制比较简单,这也是它传播最广的一个重要原因。

当然,除了十进位制外,还有其它进位制．实际上除了0 和1 以外,任何自然数都可以用来作为进位制的基础数．例如: 二进位制,三进位制、五进位制等等．像北美的印第安人,中南美的少数民族、西伯利亚的北部民族及非洲人等,常用五进位制和二十进位制．1937年在罗马尼亚境内发现旧石器时代的一根幼狼的挠骨,长七英时,上面有五十五个刻痕,前面二十五个是五个一组地排列着,随后一个刻痕是原长的两倍,作为这一列的结束．这是五进位制应用的一个证明．巴比伦人最初使用六十进位制,直到现在我们还在使用这种进位制,如一小时等于六十分钟,一分钟等于六十秒,圆周等于三百六十度,一度等于六十分等．在今天还在应用的进位制还有十二进位制,如一年有十二个月,一天是二十四小时(钟表面上仍只用十二)等,从英文数字的构词形式上也能看出十二进位制的痕迹．学过英语的人都知道,英文中从1 到12,这十二个数字是独立的,13 以后才有一个统一的构成法。

科学技术发展到今天,很多问题的解决都需要进行大量的计算．在许多情况下计算速度要求很高,必须使用自动控制．有些数学问题计算工作量很大,如建筑巨型水力发电站的拦河坝工程,就需要进行极为繁杂的计算．这里遇到的联合方程已经不是两三个未知数,而是十几个、几十个乃至上百个未知数,其计算的艰难复杂程度可想而知．堤坝设计不仅是整个工程的关键,而且直接关系到千百万人的生命安全,要求计算准确,迅速,这些都促进了计算机技术的不断发展．为了适应这样的需要,人们发明了二进位制,用0和1 两个符号,就可以把一切自然数表现出来．如

自然数一,二,三,四,五,六,七,八,九,十,……

十进制 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,……

二进制 1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010,……

为了区别不同的进位制,我们常用括号加注的方法．如,在十进位制里,数101 表为(101)10；在二进位制里,数101 表为(101)2。

由于二进位制只有两个数字(0,1 ),人们就把电路的“开”、“关”分别表示0 和1 这两个数码,进行复杂的运算,这就是电子计算机的简单原理。

随着科学技术的发展,奇妙的进位必将得到更加深入的研究和广泛的使用。

(谭英)