数学还能模糊吗?

多少年来,人们都把数学看成是一门最精确的科学,认为高度的精确性是数学与其他学科的主要区别之一．有的人还说过数学是科学的女王或皇后之类的话,大概就是为了称赞数学的精确性。

其实,与其说数学是科学的女王,不如说数学是科学的仆人．数学是基础学科,它是为其他学科服务的。

数学不能只讲精确．人们在生活、生产和科研中,常常要用到一些模糊的概念、判断和推理,数学也应该想办法研究这些东西,解决有关的问题,同时也丰富自己。

一个人如果拒绝使用模糊的概念、判断和推理,他大概会成为精神病患者。

比如说,你请他替你去告诉李鹏同学一件事．可是他并不认识李鹏．你就告诉他说,请他到操场的东南角去找李鹏,李鹏正在那里和几个同学玩,他是个矮个儿,胖子。

你以为已经说清楚了,可是他问: “矮个儿,身高不超过一米几? 胖,他的腰围多少? 体重多少? ”

就算你的答复能使他感到满足了,他拿起皮尺和磅秤去操场了．可是问题又来了,“东南角”,这是多大的个范围? 是半径五米的一个圆? 还是边长三米的一个正方形? 如果有一个人一只脚站在这个范围内,另一只脚站在这个范围外,应该不应该考虑在内? ……

他还在郑重其事地考虑这些问题,天早已黑下来了,操场上只剩他一个人了。

可见不允许用模糊的概念是不行的．那么,人们是怎样利用模糊概念去思考的呢?

起初,人们以为模糊就是近似．人们就去研究有关近似的计算、误差等的数学道理,取得了不少成果。

后来,人们把模糊和偶然性联系在一起．人们就去研究有关随机变量、随机过程和数理统计方面的数学道理,也取得了不少的成果。

但是,人们渐渐发现,这些并没有抓住模糊的概念的主要特点。

精确的概念是什么呢? 假如我们谈论你班上的男同学,这“男同学”就是一个精确的概念．为什么精确? 因为一个同学概括不概括在这个概念内,是完全确定的,你和我都清清楚楚．当然,我没见过你班上的同学,所以我并不知道某一个同学,比如李明,是不是一个男同学．但是这并不要紧,因为我很清楚,他或者是个男同学,或者不是个男同学,这是明确的．我们可以把一个明确的概念看成一组事物的总称,用现代数学的术语来说,就是一个“集合”的名称。

模糊的概念与此不同,比如我们谈论你班上的高个子,这“高个子”就是一个模糊的概念．李华身高1.90 米,他算高个子是当之无愧的．张明身高1.44 米,他和高个子根本不沾边．但是王虎呢? 他身高1.65 米,算不算你班上的高个子呢? 这就很难说了。

所以“高个子”这个概念是个模糊的概念,主要不是因为测量可能有误差,也不是因为人的身高会随着他的健康情况、运动情况等发生偶然的变化,而是因为我们对“高个子”这个概念根本没有一个明确的界限。

如果要把你们班上身高在1.70 米以上的同学挑出来,这“身高1.70 米”就不是一个模糊概念．模糊概念的最根本特点就是: 有些事物是否概括在这个概念里,是不太明确的。

当然,一个同学的个子越高,他越可以算作高个子．所以不同的事物,能否概括在一个模糊概念中的资格也不同。

这样,我们就可以把一个模糊概念与一张表联系起来,表上列出了每一个事物是否能概括在这个概念中的资格．例如,

概念: 你们班上的高个子

李华 1

张明 0

王小虎 04

陈大刚 075

…… ……

这叫资格表．1、0、0.4 等表示资格的多少．对不同的模糊概念,资格表也不同:

概念: 你们班上的胖子

李华 0

张明 0 2

王小虎 0 9

陈大刚 0 75

…… ……

模糊数学的研究工作,就是以这种表为基本材料．比如说,两个概念可以合成一个新的复杂概念．对于精确的概念来说,“你们班上的身高超过1.70米、体重超过70 公斤的同学”是个复杂概念．这个概念是一些什么事物的总称呢? 就是你们班上的同学必须既属于“身高超过1.70 米”这一组,又属于“体重超过70 公斤”这一组,也就是说这两组的共同部分．用现代数学的术语来说,就是这两个集合的交集。

对于模糊的概念来说,“你们班上的高个胖子”这个复杂概念,有一个什么样的资格表呢? 就是“你们班上的高个子”这个资格表与“你们班上的胖子”这个资格表中,每行的两个数中的较小的一个:

概念: 你们班上的高个胖子

李华 0

张明 0

王小虎 0 4

陈大刚 0 75

…… ……

李华太瘦了,他根本没有资格叫做胖子,虽然他完全有资格叫做高个子,还是根本没有资格叫做高个胖子．张明呢? 他完全没有资格叫高个子,所以不管他是胖是瘦,反正没有资格叫做高个胖子．王小虎相当胖,但是只有 0.4 的资格叫做高个子,所以他也只有 0.4 的资格叫高个胖子．陈大刚与他们都不同,叫高个子与叫胖子都有 0.75 的资格,所以他有 0.75 的资格叫高个胖子。

如果你班上就只有这四个同学,你要我去找你班上的高个胖子,我毫不犹豫地就把陈大刚找来了,虽然李华比他高,王小虎比他胖。

说到这里,你多少可以觉出一点模糊数学的味道了．模糊数学利用了资格表——用现代数学的术语来说叫做特征函数,就可以用精确的数量关系来表达模糊的概念和它们的关系了．所以模糊数学处理的虽然是模糊的东西,但是它本身并不是模糊的!

在数学的各种分支中,类似模糊数学的例子还有．比如研究数量变化,这个变化可以非常复杂,甚至可以反复无常,但是变量的数学—一微积分,却是一门脚踏实地的严肃学科,丝毫也没有反复无常的地方。

以不变对万变,以精确对模糊,这都是现代数学的深刻性和技巧性的精彩所在!(马希文)