由数学符号、文字符号或图形等组合成的数学问题,幽深、隐秘,妙趣横生。

符、形问题扑朔迷离,初看无从下手．但只要认真分析一下题目的特点,它与“虫蚀算”有些相似,仍然可以从中找出隐含的“蛛丝马迹”。

解这类问题,要根据组成题目的各种条件和其中的已知数目,上下或前后对照,综合分析,发现其中的内部联系,找出一两个突破口,便可使问题破译。

符号谜

例1 在□内填入“+”、“-”号,使等式成立

1□23□4□56□7□8□9=100

解: 解这类题目仍要先观察等号右端的数,根据这个结果的大小,确定算式中数间的符号．本题的结果是100,比式中任何一个数都大得多,便可肯定在式中的23、56 之前必须用“+”号,而后再用“+”或“-”,试算其他各数,直到符合最后结果是100 为止。

这题的正确填法是:

1+23-4+56+7+8+9=100

例2 下式左端是一位数的四则运算,请填入+、-、×、÷、()等符号,使等式成立。

① 9 8 7 6 5 4 3 2 1=100

解: 算式的结果是100,如果全用“+”,9－1 九个数的和是45(简算用中间项5 乘以项数9)．显然,需用乘号．倘在较小的数间填“×”,与100 仍相差很多,因此需在较大的数间填“×”．经试算,8×9=72,余下七个数的和是4×7=28,相加恰是100．即:

9×8+7+6+5+4+3+2+1=100

② 9 9 9 9 9=17

解: 结果是17,等号左端的数是五个9．9+8=17．因此,必须把其中的四个9,通过添加运算符号,使其得数为8,才能保证最后结果为17．通过试算:

(9×9-9)÷9＝8

这样,整个算式可组合为:

(9×9－9)÷59＋9＝17

例3 改动下式中的一个运算符号,使下式成立。

1＋2＋3＋4＋5＋……＋19＋20＝200

解: 这是个连续数相加的算式,确定改动哪一个符号,必须先知道已知的和200 与实际和的差数。

1－20 各数的实际和是:

总和＝(首项＋尾项)×(项数÷2)

(1＋20)×(20÷2)＝210

210 比已知的和多10,即210—200＝10

因此,只要在算式中,将“＋10”改为“－10”即可以了。

例4 在下式合适的位置添上()、〔〕和(),使等式成立。

1＋2×3＋4×5＋6×7＋8×9＝9081

解: 本题的最后结果是9081,数目较大,求解有一定难度,但仍可用“层层剥笋”的方法,缩小推导范围。

将9081 分解得:

9081＝1009×9

因此,｛｝位置可定,即:

｛ ｝×9＝9081

1009－8＝1001．而1001＝7×ll×13＝77×13．据此,可将8 前的算式用添括号的方法,使它成为结果为77 和13 相乘的两个算式．经试算,(1＋2)×3＋4＝13(5＋6)×7＝77

从而,可以确定各种括号的位置．即:

｛〔(1＋2)×3＋4〕×(5＋6)×7＋8｝×9＝9081

例5 用六个9 组成等于100 的算式。

解: 本题没有规定六个9 的组合形式,因此,每一个数可以是9,也可以是99,或999……．各数间的运算符号也没有特殊要求,＋、－、×、÷、()、〔〕、｛｝完全可根据自己需要选用,只要把六个9 组合成算式使结果为100,便符合题目的要求了! 因此,有时可以有许多种解法．如,本题可组合为:

解1: 99＋99÷99＝100

解2:(999－99)÷9＝100

解3: 9×9＋9＋9＋9÷9＝100

解4: 99÷9×9＋9÷9＝100