提起“勾股定理”．人们便很容易与毕达哥拉斯联系起来,西方数学界一般把“勾股定理”叫做“毕达哥拉斯定理”．但据本世纪对于在美索不达米亚出土的楔形文字泥板书所进行的研究,人们发现早在毕达哥拉斯以前1000 多年的古代巴比伦人就已经知道了这个定理．而且在中国的《周髀算经》中记述了约公元前1000年时,商高对周公姬旦的回答已明确提出“勾三、股四、弦五”．不过“勾股定理”的证明,大概还应当归功于华达哥拉斯．传说,他在得出此定理时曾宰杀了100 头牛来祭缪斯女神,以酬谢神灵的启示．缪斯是神话中掌管文艺、科学的女神。

毕达哥拉斯是科学史上最重要的人物之一,他的思想不仅影响了柏拉图,而且还一直影响到文艺复兴时期的一些哲学家和科学家。

毕达哥拉斯曾旅居埃及,后来又到各地漫游,很可能还曾去过印度．在他的游历生活中,他受到当地文化的影响,了解到许多神秘的宗教仪式,还熟悉了它们与数的知识及几何规则之间的联系．旅行结束后,他才返回家乡撒摩斯岛．由于政治的原因．他后来迁往位于南意大利的希腊港口克罗内居住．在这里创办了一个研究哲学、数学和自然科学的团体,后来便发展成为一个有秘密仪式和严格戒律的宗教性学派组织。

毕氏学派认为,对几何形式和数字关系的沉思能达到精神上的解脱,而音乐却被看作是净化灵魂从而达到解脱的手段。

有许多关于毕达哥拉斯的神奇传说．如,他在同一时间会出现在两个不同的地方,被不同的人看到；还有传说,当他过河时,河神站起身来向他问候: “你好啊,毕达哥拉斯”；还有人说,他的一条腿肚子是金子做的．毕达哥拉斯相信人的灵魂可以转生,有人为了嘲弄他的宗教教义而传言,一次当他看到一只狗正遭人打时,他便说: 别打了,我从他的声音中已认出,我朋友的灵魂是附在了这条狗身上了。

如果有人要想加入毕氏团体,就必须接受一段时期的考验,经过挑选后才被允许去听坐在帘子后面的毕达哥拉斯的讲授．只有再过若干年后当他们的灵魂因为受音乐的不断熏陶和经历贞洁的生活而变得更加纯净时,才允许见到毕达哥拉斯本人．他们认为,经过纯化并进入和谐及数的神秘境界,可以使灵魂趋近神圣而从轮回转生中得到解脱。

毕氏学派企图用数来解释一切,不仅万物都包含数,而且认为万物就是数．他们发现,数是音乐和谐的基础．当一根琴弦被缩短到原来长度的一半时,拨动琴弦,音调将提高8 度；比率为3∶2 和4∶3 时,相对应的是高5度和高4 度的和声．和声就是由这样一些不同的部分组成的整体．他们认为,正是由于各种事物的数值比确定了它们分别是什么,并显示出彼此之间的关系。

毕氏学派在哲学上与印度古代哲学有相类似之处．都是把整数看作是人和物的各种性质的起因,整数不仅从量的方面而且在质方面支配着宇宙万物．他们对数的这种认识和推崇,促使他们热衷于研究和揭示整数的各种复杂性质,以期来左右和改变自己的命运。

他们对整数进行了分类．如整数中包含有奇数、偶数、质数、亲和数及完全数等等。

他们注意到整数48 可以被2、3、4、6、8、12、16、24、整除,这8 个数都是48 的因子,这些因子的和是75；奇妙的是75 的因子有3、5、15、25,而它们的和又恰好是48．48 与75 这一对数叫做“半亲和数”．不难验算出140 与195 也是一对半亲和数．考虑到1 是每个整数的因子,把除去整数本身之外的所有因子叫做这个数的“真因子”．如果两个整数,其中每一个数的真因子的和都恰好等于另一个数,那么这两个数,就构成一对“亲和数”。

220 与284 是毕达哥拉斯最早发现的一对亲和数,同时也是最小的一对亲和数．因为220 的真因子是1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110,而它们的和是284．284 的真因子是1、2、4、71、142,其和恰好是220．有人曾经把亲和数用于魔术、法术、占星学和占卦上,使它带有迷信和神秘的色彩．如认为若两个人都佩带上分别写着这两个数的护符,就一定保持良好的友谊,这当然是非常滑稽可笑的。

有趣的是,后来人们总保持着对亲和数研究的兴趣．1636年,法国数学家费马发现了第二对亲和数,它们是17962 与18416．两年后笛卡儿找出了第三对亲和数．瑞士的大数学家欧拉曾系统地去寻找亲和数,1747年他一下子找出了30 对,3年后他又把亲和数增加到了60 对．令人惊奇的是,除去220 与284 之外最小的一对亲和数1184 与1210 竟然被这些数学大师们漏掉了．它被一个16 岁的意大利男孩帕加尼尼在1886年发现．至今,已经知道的亲和数已有1000 对以上。

更有趣的是人们还发现了亲和链:

2115324,3317740；

3649556,2797612。

由于第一个数的因子之和是第二个数,第二个数的因子之和是第三个数……第四个数的因子之和又恰好是第一个数,它们是一个四环亲和链．一些构成亲和链的数,只要给出其中的一个,便可以计算出其他的数．如12496与其他四个数构成一个五环亲和链．有计算器的读者不妨试算一下,补上其余的四个数。

其他与占卦臆测有联系的是完全数．完全数的真因子之和是它自己,就好像自己和自己是“一对”亲和数．最小的完全数是6=1+2+3．毕氏信徒们认为,数具有象征性的含义．例如,4 是公正或报应的数,表示不偏不倚．上天创造世界,6 就是个完全数．整个人类是诺亚方舟上的神灵下凡,这一创造是不完善的,因为8 不是完全数,它大于它的真因子和: 1+2+4．像4、8 这样的数叫做亏数．相反凡小于其因子和的整数叫做盈数。

最小的三个完全数是6,28,496．直到1952年人们才发现12 个完全数．欧几里德的《原本》第九卷的最后一个命题是,证明: 如果2n-1 是一个质数,则2n-1(2n-1)是一个完全数．由这个公式所给出的完全数都是偶数．后来大数学家欧拉证明了每一个偶完全数必定是这种形式的．人们自然会问,是否还有其他的完全数? 即有没有奇完全数? 但至今还没有人能够回答这个问题。

1952年,借助SWAC 数字计算机,又发现了五个完全数: 1957年用瑞士的BESK 计算机发现了另外一个；后来有人用IBM7090 计算机又发现了两个．至今为止已知道的完全数已有27 个．毕氏学派是一个带有神秘色彩的宗教性组织,但是他们对于数学的研究确实作出了重大贡献．由于华达哥拉斯的讲授都是口头的,按照他们的习惯,对于各种发现或发明都不署个人姓名,而是都归功于其尊敬的领导者,所以很难辨别出他们研究的成果究竟是由谁来完成的．毕氏学派后来在政治斗争中遭到失败,毕达哥拉斯逃到塔林敦后,终于还是被杀害．他死后,他的学派的影响却仍然很大,其学派又延续了200年之久。