相传在很久很久以前,有一个善良的阿拉伯老人,他有三个儿子．一天,他生了病,感到自己不行了,就把三个儿子叫到身边,对他们说: “我就要离开人世了,我一生清白,现在心里很安宁．我死了以后,你们兄弟三人要和睦相处,要用自己的双手,靠劳动去取得幸福．我留下的十九匹马是一生辛劳的积累,不要卖掉,更不能杀了．你们三人这样分: 老大分总数的一半,老二分总数的四分之一,老三分总数的五分之一,一定要照这样分……”三兄弟一想,19 不能被2 整除,也不能被4 或5 整除,这可怎么分呢? 刚想问老人,老人已经咽气了。

兄弟三人把老人安葬好,开始分财产了．但是他们绞尽脑汁也没办法遵照老人的临终嘱咐来分这十九匹马．周围邻居们也没有办法．为此三兄弟非常忧愁。

一天,一位学者骑马经过三兄弟家门前,向三兄弟要水喝．他发现三兄弟满面愁容,就问他们有什么心事．老大把情况讲了讲,老二摇着头,老三唉声叹气．学者想了想说: “我来帮你们解决吧．”说着就走过去把自己的马牵过来说: “这匹马我送给你们．”老大急忙说: “那不行,那不行．”“别忙,”学者微笑着说．然后问兄弟三人,“这样,你们的马一共几匹了? ”三兄弟连忙答: “共二十匹．”学者接着问: “老大分总数的一半,几匹? ”老大笑着说: “十匹．”“好,”学者又问: “老二分总数的四分之一,几匹? ”老二说: “五匹”,学者又说: “好,现在老三分总数的五分之一,是几匹? ”老三说: “是四匹．”学者微笑着说: “好了,现在老大分得十匹马,老二分得五匹,老三得四匹,这都是依你们父亲的嘱咐分的．”三兄弟都点了点头．“但是现在你们马的总数是二十匹,分掉了十九匹,还剩余一匹．”学者一边说一边指了指那匹他自己的马说: “这匹马就给我,作为我给你们分了马,解决了这一难题的报酬,好吗? ”三兄弟一听,高兴得相互拥抱．学者微笑着上了马,在三兄弟的欢笑声中向远方走去。

同学们,你们一定为学者巧妙的分法而惊叹,然而趣味还不止于此! 让我们继续考究20、10、5、4 这四个数,发现其中10、5 和4 都能整除20,它们的和10＋5＋4=19,比20 少1．具有这样性质的一组自然数(ｂ、ｃ、ｄ都能整除ａ,而它们的和ｂ＋ ｃ ＋ ｄ比ａ少 1)还有吗? 我们的回答是: 还有! 例如: 18、9、6、2．18÷9=2,18÷6=3,18÷2=9,9＋6＋2=17,18—17=1．这样,我们可以把这篇古老的算术故事改为: 有十七匹马分给三个兄弟,老大分总数的一半,老二分总数的三分之一,老三分总数的九分之一．这是多么有趣的呀!

问题还没有结束,我们还要问,这样的四个自然数共有几组呢? 我们给出答案,共有十二组,它们是:

a=4,b=1,c=1,d=1；

a=6,b=2,c=2,d=1

a=6,b=3,c=1,d=1；

a=8,b=4,c=2,d=1；

a=10,b=5,c=2,d=2；

a=12,b=6,c=3,d=2；

a=12,b=6,c=4,d=1；

a=12,b=4,c=4,d=3；

a=18,b=9,c=6,d=2；

a=20,b=10,c=5,d=4；

a=24,b=12,c=8,d=3；

a=42,b=21,c=14,d=6。

如果要问这十二组数是如何求得的? 如何知道只有十二组? 这要用到数论中不定方程的知识,我国著名的数学家陈景润研究的哥德巴赫猜想就是数论中的一道世界难题,数论中至今还有许多难题在等待你们去攻关呢!(陈正康 张中行 凌围伟)