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自然数是一个蕴藏无限奥秘的海洋,它既有音乐数、魔术数、奇异数之类各具“个性”的成员,也能通力合作联手并肩,排成奇妙的数阵、幻方．更加奇特的是,数学还能以它自身的力量,形成种种迷人的魔幻。
魔幻迷题便是用数学知识表演的魔术,它以数学知识为外衣,引诱人们一步步坠入迷宫,使一个个“不可能”成为“事实”．尽管十分怪异,却又无法否认。
它能证明: 1=2,2=3=8．甚至证明: 任何数加上1 后还得任何数．它还证明: 梯形上底=下底；大圆周=小圆周。
其实,2 就是2,3 就是3,2 与3 绝不相等．使2 变成3,是在演化的过程中掺了假! 掺假的方法很隐秘,很巧妙,只有对数学的公式、定律、性质非常熟悉的人,并且十分精细地观察每一步的演化依据,才能及时发现其中破绽。
数字魔幻的演化过程,常常利用“0 的特性”迷惑他人,故意把特殊性与一般性糅合一起,使粗心大意者在不知不觉中,按照表演者的思路,误入迷途。
数的魔幻反映在形体上,就是形的魔幻。
形的魔幻,有的利用人们的视觉错误,用具体物体证明不可能的存在,如: 10=9,50=48=49……,有的故意将图画错,而后将错就错,按照错误的根据进行证明,从而得出令人意外的结论．有的利用诡辩,偷梁换柱,把他人的思路引入歧途,最终令人昏头转向,真假难辨；有的看似不可能,却是真实的存在,它利用高深的知识(如拓扑学)使问题获解．只是暂时我们还不能理解罢了。
形的魔幻是看得见摸得着的具体事物,与数的魔幻相比,更加有趣,更加奇妙迷人!
魔幻迷题令人信服地表明:
数学,的的确确是一门极富魅力十分有趣而又引人入迷的学科,它的威力大到能使“不可能”成为“事实”。
2=8
设有一方程为:
2x-4=8x-16
将此方程变化为:
2(x-2)=8(x-2)
将等式两边同除以(x-2),即得:
2=8
这也是个荒唐的结果。
但是,它的证明方法错在何处呢?
解: 上述证明过程又是在等式两边除以同一个(x-2)．那么,其中的x是多少呢? 从方程2x-4=8x-16 可以求出x 的值。
即:
2x-4=8x-16
8x-2=16-4
6x=12
x=2
x=2,则x-2=2-2=0,原来又是0 在作怪! 在等式两边同除以(x-2),也即用0 去除等式的两端,问题就出在这里。
8=7
表演者拿出一张纸,纸上画着8 个孩子在跳舞:
表演者又在纸上画了两条线,将纸剪成了三块,并一块一块的展示给观众。
接着,表演者又把三块纸重新拼合起来。
众人再一看,图上原来明明是8 个演员,现在却只有7 个了!
表演者说: “这个事实,说明8 与7 也是相等的．”
人们奇怪: 为什么失踪了一个演员呢?
解: 这题的关健是所画的两条线,剪开后再重新拼合,有一位演员身体重叠了,本来是两个人合成了一个人,因而8 变成了7!
世界短跑冠军“追不上”乌龟
美国的刘易斯是世界短跑冠军,他的百米成绩是9 秒92,可以说,其快如风．而乌龟,就是在动物中运动速度也是较慢的,它靠四个脚爬行．慢慢悠悠,老半天也爬不了几米．想当年,它与小白兔赛跑,要不是小白兔在树荫下睡了一觉,无论如何它也得不到冠军呀!
现在,有人却要证明: 只要乌龟在前,世界短跑冠军也永远追不上它．证明的过程是这样的:
设: 乌龟在A 点向前爬,刘易斯从O 点出发向前追。
当刘易斯追到A 点时,乌龟尽管速度很慢,还是要前进一段距离的,假定它到达了B 点。
刘易斯继续追赶。
当刘易斯到达B 点时,乌龟仍然不会停在B 点,假定到达了C 点,仍是在刘易斯的前面．如此继续下去,当刘易斯追到C 点时,乌龟又到达了E 点．总之,尽管他们间的距离越来越小,尽管乌龟的速度很慢,却总是在刘易斯的前面．也就是说,刘易斯永远追不上乌龟!
这可能吗?
解: 短跑冠军怎么会追不上乌龟呢?
错误的结论产生于用“有限”的方法去处理“无限”的问题了。
假定长跑冠军的速度是10 米／秒．乌龟的速度是1 米／秒,它们间的距离OA 若在9 米以内,不需1 秒即可追上．若OA 在90 米以内,不需10 秒也便追上了。
同样,我们也可以证明。
设: OA=9 米,刘易斯前进速度为10 米／秒,乌龟爬行速度是1 米／秒．刘易斯用0.9 秒,便跑到了A 点,乌龟用同样的时间,只跑了0.9 米(到达B 点)；当刘易斯再用0.09 秒追到B 点,乌龟用同样的时间,又向前爬了0.09 米(到达了C 点)……
刘易斯一段一段的追赶,所用的总时间t 和所行的总距离s,是:
t=0.9+0.09+0.009+……
s=9+0.9+0.09+……
∵0.9+0.09+0.009+……=0.999……=0.9=1
∴ 当t=1 秒
s=10×(0.9+0.09+0.09+……)
=10×1
=10(米)
而刘易斯与乌龟间的距离OB,只有9.9 米(即原距离9 米,加上1 秒钟内乌龟所行的0.9 米),所以,如果OA=9 米,刘易斯只需1 秒钟,便可追上乌龟了!
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