19 世纪是一个在政治上、艺术上和科学上有着革命思想的时代,数学也一样,这时非欧几何得到了发展．非欧几何的发现标志着现代数学的起始,如同印象派油画标志着现代艺术的起始一样。

在此期间,双曲几何(非欧几何之一)由俄国数学家罗巴切夫斯基(Nicolai Lobachevsky,1793—1856)和匈牙利数学家J·波约伊(JohannBolyai,1802—1860)分别独立地发现。

可以发现,双曲几何也像其他非欧几何一样,描述着与欧氏几何不相协调的性质．例如,在双曲几何中线未必暗指是直的,而平行线也不保持等距离(它们不相交而保持着渐近的关系)．人们在详细研究了非欧几何后发现,它确实能够对宇宙现象给出更为精确的描述．从而,这些几何能够为描述不同的世界而存在。

法国数学家庞加莱(Henri Poincaré,1854—1912)创造了一个这样的世界．他想象宇宙被囿限于一个圆内(对于三维模型则可形象化为一个球体),其中心温度为绝对零度．当人们从中心出发旅行,周围温度上升,但这个宇宙中的物体和居民并不晓得温度在改变．今设想每件东西的大小也随着移动而改变,即每个物体和生命在接近中心时变大而在接近边界时依比例缩小,而且他自身并不晓得,也不可能发觉自己的大小变化．这意味着一个人的步伐当他向边界移动时,将变得越来越小,从而将出现这样的情形,即只能逼近于边界而无法到达于它．这种现象使得这个世界显示为无限,而此间两点间最短的距离是一条弯曲的线,如果我们沿着这条弧状线从A 到B 移动,则所需的步伐最少。

上图就是这样一个世界,在这个世界里三角形的边由弧线组成,就像图中三角形ABC 那样．平行线也以新的面目出现,线DCE 与线AB 平行,因为它们没有交点。

实际上庞加莱的宇宙能够描述我们生活着的世界．如果我们考虑自身在宇宙中的位置,而且我们能够进行用光年来度量的距离的旅行,那么也许我们能够发现自己身体尺寸的改变．事实上根据爱因斯坦的相对论,当速度接近光速时尺子的长度变短!

庞加莱是一位具有创见性的思想家．在巴黎大学文理学院当教授期间(1881—1912年),他所开设学科的多样性说明了这一点．他的著作和思想覆盖了诸如电学、势论、水力学、热力学、概率、天体力学、发散数列、渐近展开、积分不变量、轨道的稳定性、天体的形成等等科目．他的著作可以说在一定程度上激励了20 世纪的数学思想。